XXV
Россия

9 класс

  • XXVI Всероссийская олимпиада школьников 2000/2001 года
    19-26 апреля, Тверь

    Первый день

     

  1. Н. Агаханов 
    Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую - числа, для которых ближайшими являются квадраты четных чисел. В какой из групп сумма чисел больше? 



  2. Н. Агаханов
    Два многочлена P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d и Q(x)=x2+px+q принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I - неотрицательны. Докажите, что найдется такая точка x0, что P(x0)<Q(x0). 
     


  3. С. Берлов
    Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K таким образом, что середина отрезка AD равноудалена от точек K и C, а середина отрезка CD равноудалена от точек K и A. Точка N - середина отрезка BK. Докажите, что углы NAK и NCK равны. 
     


  4. Ю. Лифшиц
    Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.) 

 

Второй день

  1. Ю. Лифшиц 
    Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет? 



  2. С. Берлов
    В компании из 2n+1 человек для любых n человек найдется отличный от них человек, знакомый с каждым из них. Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех. 



  3. С. Берлов
    На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной около треугольника ABC окружности лежит на окружности, описанной около треугольника KBM. 



  4. Д. Джукич
    Найдите все нечетные натуральные n (n>1) такие, что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число a+b-1 также является делителем n.