В треугольнике ABC угол при вершине B равен 30° и AB=BC. Пусть A', B', C' - точки, симметричные точкам A, B и C соответственно относительно противоположных сторон. Докажите, что треугольник  A'B'C' - равносторонний.

Найдите все натуральные числа n, такие, что набор чисел {1, 2, 3, ... , 4n} можно разбить на n четверок так, что в каждой четвёрке одно из чисел равнялось бы среднему арифметическому всех остальных.

В некотором НИИ все сотрудники либо лжецы (у них все высказывания ложны), либо рыцари (у них все высказывания истинны). Однажды каждый из сотрудников сказал две фразы:
    -  в нашем НИИ нет и n человек, которые работают дольше меня.
    -  в нашем НИИ по крайней мере m человек получают зарплату больше, чем у меня.

Примечание: все сотрудники назвали одни и те же числа m и n.
Известно также, что в этом НИИ никакие два сотрудника не имеют одинаковой зарплаты, и все сотрудники проработали в НИИ разное время. Определите, какое наибольшее и какое наименьшее количество сотрудников может работать в этом НИИ.

Доказать, что для любого числа a всегда можно найти числа b и c такие, что у каждого из 6 уравнений ax² + bx + c = 0, ax² + cx + b = 0, bx² + ax + c = 0, bx² + cx + a = 0, cx² + ax + b = 0, cx² + bx + a = 0 имеется хотя бы один корень.