Ладья стоит в правом верхнем углу шахматной доски размером KxN. Два игрока делают ходы по очереди. Одним ходом разрешается двинуть ладью на несколько полей вниз или влево. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто побеждает при правильной игре - первый или второй?

На листе выписаны подряд числа от 0 до 2^N.Двое играющих по очереди вычеркивают произвольные числа: сначала первый 2^N-1 чисел, затем второй 2^N-2 чисел и т.д., пока не останутся два числа. Их разность (по модулю) - выигрыш первого и проигрыш второго. Найдите его оптимальное значение, т.е. чему он равен при правильной игре обоих партнеров.

Два игрока по очереди берут по одной из девяти фишек, на которых написаны числа 1, 2, ..., 9. Выигрывает тот, кто первым соберет у себя какие-либо три фишки, дающие в сумме 15. Кто победит при правильной игре?

На бесконечном листе клетчатой бумаги играют двое, ходят по очереди. Первый ставит за один ход два крестика, второй - два нолика. Первый стремится целиком заполнить какой-либо квадрат размером 2x2, второй - помешать первому. Может ли первый добиться успеха?

Имеется куча из 31 камня. Двое играющих делают ходы по очереди. Одним ходом разрешается разделить любую из имеющихся куч на две непустые кучи. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре - первый или второй?

На квадратном клетчатом поле 7х7 играют двое. Первый ставит крестик на центр поля, второй может поставить нолик на любую из восьми клеток, соседних с занятой. После этого первый может поставить крестик на любую клетку рядом с уже занятыми и т.д. Выигрывает тот, кто первым займет какую-либо угловую клетку. Кто выигрывает при правильной игре?

Два программиста играют в следующую игру. Первый выбирает одно из двух чисел 11 или 17 (вариант: 10 или 17) и вводит его в компьютер. Затем второй выбирает одно из чисел 11 или 12 и вводит его (второй больше не участвует в игре). Компьютер складывает эти числа. Через минуту компьютер к полученному результату снова прибавляет число, введенное вторым, еще через минуту делает то же самое и т.д. Первый имеет право в любой момент переставить цифры последнего из имеющихся на экране чисел. Если число на экране станет трехзначным, выигрывает второй, иначе - первый.
Кто выиграет при правильной игре?

Двое играющих по очереди вычеркивают одно число из ряда 1, 2, ..., 27 до тех пор, пока не останется два числа. Если сумма этих чисел делится на 5, то выиграл первый, иначе - второй. Кто выиграет при правильной игре?

На доску размером 2Nx2N двое играющих по очереди ставят фишки так, чтобы ни в одном квадратике 2x2 не было больше
а) двух,
б) трех
фишек. Кто первым нарушит это условие, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?