
10 класс	XXVIII Всероссийская олимпиада школьников Майкоп, 2002 1. Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству P²+Q²=R². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени - действительные. (А. Голованов) 2. Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность w. Касательная к w, проведённая через A, пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, а касательная к w, проведённая через B, пересекает продолжение стороны AD за точку A в точке M. Известно, что AM=AD и BK=BC. Докажите, что ABCD - трапеция. (С. Берлов) 3. Докажите, что для любого натурального числа n>10000 найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что 0<m-n<3n^1/4. (А. Голованов) 4. В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из любого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут, и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по её городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002. (А. Пастор) 5. Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что a^1/2+b^1/2+c^1/2>ab+bc+ac. (С. Злобин) 6. Имеется одна красная и k (k>1) синих ячеек, а также колода из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек? (А. Белов) 7. Пусть A' - точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что a, b и c пересекаются в одной точке. (Л. Емельянов) 8. На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через любую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку. (В. Дольников, И. Богданов)

10
класс

XXVIII Всероссийская олимпиада школьников
Майкоп, 2002

1. Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству P²+Q²=R². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени - действительные.
(А. Голованов)

2. Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность w. Касательная к w, проведённая через A, пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, а касательная к w, проведённая через B, пересекает продолжение стороны AD за точку A в точке M. Известно, что AM=AD и BK=BC. Докажите, что ABCD - трапеция.
(С. Берлов)

3. Докажите, что для любого натурального числа n>10000 найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что 0<m-n<3n^1/4.
(А. Голованов)

4. В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из любого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут, и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по её городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.
(А. Пастор)

5. Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что a^1/2+b^1/2+c^1/2>ab+bc+ac.
(С. Злобин)

6. Имеется одна красная и k (k>1) синих ячеек, а также колода из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?
(А. Белов)

7. Пусть A' - точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что a, b и c пересекаются в одной точке.
(Л. Емельянов)

8. На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через любую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
(В. Дольников, И. Богданов)