О.Ф.Крыжановский
Найдите значение выражения:
(1²-1·4+4²)+(2²-3·2·3+3²)+(5²-5·8+8²)+(6²-3·6·7+7²)+…+(1997²-1997·2000+2000²)+
+(1998²-3·1998·1999+1999²)

Найдите все пары функций f и g, определенных на всей числовой оси, принимающих действительные значения и удовлетворяющие условию

f(x + g(2y)) = x² + y² + xy

для всех действительных x и y. Ответ обоснуйте

Треугольники А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ единичной площади, центрально симметричные относительно точки О, в пересечении образуют шестиугольник. Докажите, что его площадь не больше 2/3

О.Ф.Крыжановский
Все точки плоскости с обеими рациональными координатами раскрашены в 4 цвета, причем в каждый цвет покрашена хотя бы одна точка. Верно ли, что обязательно найдется прямая, содержащая точки хотя бы трех различных цветов? Ответ обоснуйте

М.С.Бойко, В.В.Венгеровский
К потолку на нитке подвешен куб nxnxn, поверхность которого разбита на 6n² единичных квадратных клеток. Для каждой клетки назовем соседними четыре клетки, которые имеют общую сторону с исходной. В начальный момент времени на поверхности куба сидят 6n² муравьев. При этом каждый муравей сидит целиком в одной клетке (в некоторых клетках может быть несколько муравьев). Каждую секунду какие-то четыре муравья, находящиеся в одной клетке, расползаются по соседним клеткам - по одному в каждую соседнюю (если в каждой клетке сидит менее четырех муравьев, то перемещения муравьев прекращаются). Докажите, что для любого начального расположения муравьев через некоторое конечное число секунд на кубе найдется по крайней мере 2n² клеток, в каждой из которых сидит хотя бы один муравей