
9 класс	Всеукраинская олимпиада по математике Чернигов, 1992 Задание 1 Сумма всех членов арифметической прогрессии a₁,a₂,…,a_k (k92) равна 1992. Какие значения может принимать сумма a₁₀+a₉₂ в зависимости от числа k? Задание 2 На каждой грани непрозрачного куба написано некоторое натуральное число. Если несколько граней куба можно увидеть одновременно, то выписываем сумму чисел, написанных на этих гранях. а) Докажите, что на гранях куба можно написать такие числа, чтобы все суммы были разными. б) Какое наименьшее значение может принимать наибольшая из таких сумм, если известно, что все эти суммы различные Задание 3 Пусть f(x) = a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n - многочлен с целыми коэффициентами a₀,a₁,…,a_n-1,a_n. Докажите, что если ни одно из чисел f(0), f(1), f(2),…,f(1992) не делится на 1992, то многочлен f(x) не имеет целых корней Задание 4 На данной окружности выбрали точку А, а внутри окружности - точку D. Пусть М - центроид треугольника АВС, вершины В и С которого лежат на данной окружности, а сторона ВС проходит через точку D. Найдите геометрическое место точек М Задание 5 Два игрока по очереди ставят шашки (первый - белые, второй - чёрные) на клетки шахматной доски 25×25. Шашки можно ставить на любые свободные поля, кроме тех полей, на всех соседних с которыми уже стоят шашки того же цвета (соседними считаются поля, которые имеют общую сторону). Проигрывает тот, кто не может сделать свой очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре - начинающий или его соперник? Задание 6 Найдите все простые числа p1000, для которых 2p+1 будет степенью натурального числа (т.е. будет выполняться равенство 2p+1=mⁿ, где m и n - натуральные числа и n2) Задание 7 Можно ли правильный 1992-угольник разрезать на параллелограммы? Задание 8 Проверьте, что окружность x²+2x+y²=1992 проходит через точку А(42;12), и докажите, что эта окружность содержит бесконечное число точек B(x,y), обе координаты x и y которых - рациональные числа

9
класс

Всеукраинская олимпиада по математике
Чернигов, 1992

Задание 1
Сумма всех членов арифметической прогрессии a₁,a₂,…,a_k (k92) равна 1992. Какие значения может принимать сумма a₁₀+a₉₂ в зависимости от числа k?

Задание 2
На каждой грани непрозрачного куба написано некоторое натуральное число. Если несколько граней куба можно увидеть одновременно, то выписываем сумму чисел, написанных на этих гранях.

а) Докажите, что на гранях куба можно написать такие числа, чтобы все суммы были разными.
б) Какое наименьшее значение может принимать наибольшая из таких сумм, если известно, что все эти суммы различные

Задание 3
Пусть f(x) = a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n - многочлен с целыми коэффициентами a₀,a₁,…,a_n-1,a_n. Докажите, что если ни одно из чисел
f(0), f(1), f(2),…,f(1992) не делится на 1992, то многочлен f(x) не имеет целых корней

Задание 4
На данной окружности выбрали точку А, а внутри окружности - точку D. Пусть М - центроид треугольника АВС, вершины В и С которого лежат на данной окружности, а сторона ВС проходит через точку D. Найдите геометрическое место точек М

Задание 5
Два игрока по очереди ставят шашки (первый - белые, второй - чёрные) на клетки шахматной доски 25×25. Шашки можно ставить на любые свободные поля, кроме тех полей, на всех соседних с которыми уже стоят шашки того же цвета (соседними считаются поля, которые имеют общую сторону). Проигрывает тот, кто не может сделать свой очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре - начинающий или его соперник?

Задание 6
Найдите все простые числа p1000, для которых 2p+1 будет степенью натурального числа (т.е. будет выполняться равенство 2p+1=mⁿ, где m и n - натуральные числа и n2)

Задание 7
Можно ли правильный 1992-угольник разрезать на параллелограммы?

Задание 8
Проверьте, что окружность x²+2x+y²=1992 проходит через точку А(42;12), и докажите, что эта окружность содержит бесконечное число точек B(x,y), обе координаты x и y которых - рациональные числа