
10 класс	XXX Всероссийская олимпиада школьников по математике Чебоксары, 2004 Задание 1 (С.Берлов) Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов. Задание 2 (Жюри) На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков - белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик? Задание 3 (С.Берлов, Л.Емельянов, А.Смирнов) Четырехугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причем вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C - в точке L', внешних углов C и D - в точке M', внешних углов D и A - в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM', NN' проходят через одну точку. Задание 4 (С.Берлов) Даны натуральное число n>3 и положительные числа x₁,x₂,...,x_n, произведение которых равно 1. Докажите неравенство (1+x₁+x₁x₂)^-1+(1+x₂+x₂x₃)^-1+...+(1+x_n+x_nx_n+1)^-1>1 Задание 5 (А.Протопопов) Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁,a₂,a₃,... удовлетворяет соотношению a_m+a_n=a_mn при любых натуральных m,n. Докажите, что не все ее члены различны Задание 6 (Д.Карпов, А.Смирнов) В стране 1001 город, любые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из любого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики. Задание 7 (В.Дольников) Треугольник T содержится внутри центрально-симметричного многоугольника M. Треугольник T' получается при отражении треугольника T относительно некоторой точки P, лежащей внутри треугольника T. Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M. Задание 8 (Е.Чернышов, И.Богданов) Существует ли такое натуральное число n>10¹⁰⁰⁰, не делящееся на 10, что в его десятичной записи две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?

10
класс

XXX Всероссийская олимпиада школьников по математике
Чебоксары, 2004

Задание 1
(С.Берлов)
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Задание 2
(Жюри)
На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков - белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?

Задание 3
(С.Берлов, Л.Емельянов, А.Смирнов)
Четырехугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причем вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C - в точке L', внешних углов C и D - в точке M', внешних углов D и A - в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM', NN' проходят через одну точку.

Задание 4
(С.Берлов)
Даны натуральное число n>3 и положительные числа x₁,x₂,...,x_n, произведение которых равно 1. Докажите неравенство
(1+x₁+x₁x₂)^-1+(1+x₂+x₂x₃)^-1+...+(1+x_n+x_nx_n+1)^-1>1

Задание 5
(А.Протопопов)
Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁,a₂,a₃,... удовлетворяет соотношению a_m+a_n=a_mn при любых натуральных m,n. Докажите, что не все ее члены различны

Задание 6
(Д.Карпов, А.Смирнов)
В стране 1001 город, любые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из любого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.

Задание 7
(В.Дольников)
Треугольник T содержится внутри центрально-симметричного многоугольника M. Треугольник T' получается при отражении треугольника T относительно некоторой точки P, лежащей внутри треугольника T. Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M.

Задание 8
(Е.Чернышов, И.Богданов)
Существует ли такое натуральное число n>10¹⁰⁰⁰, не делящееся на 10, что в его десятичной записи две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?