• XXX Всероссийская олимпиада школьников по математике
  Чебоксары, 2004

Задание 1
(С.Берлов)
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.


Задание 2
(А.Акопян, Л.Емельянов)
Пусть I_A и I_B - центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P - точка на окружности W, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников I_ACP и I_BCP, совпадает с центром окружности W


Задание 3
(А.Быстриков)
Даны многочлены P(x) и Q(x). Известно, что для некоторого многочлена R(x,y) выполняется равенство P(x)-P(y)=R(x,y)(Q(x)-Q(y)). Докажите, что существует многочлен S(x) такой, что P(x)=S(Q(x))


Задание 4
(И.Богданов, Г.Челноков)
В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В ее клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое - по 9 раз. При этом в любом столбце числа различаются не более, чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке


Задание 5
(В.Сендеров)
Пусть M={x₁,...,x₃₀} - множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; A_n (1<=n<=30) - сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M. Докажите, что если A₁₅>A₁₀, то A₁>1

Задание 7
(В. Дольников)
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими k авиакомпаниям. Известно, что любые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на k+2 группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией


Задание 8
(С.Волчёнков)
В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение, являющееся шестиугольником. Известно, что этот шестиугольник можно поместить в некоторый прямоугольник П. Докажите, что в прямоугольник П можно поместить одну из граней параллелепипеда